第六章干扰信道（Interference Channels）

课程: 网络信息论（Network Information Theory）
教材: A. El Gamal and Y.-H. Kim, Network Information Theory, Cambridge University Press, 2011
整理说明: 本章介绍干扰信道（IC）——两个发送-接收对之间的通信模型。从简单点对点策略（将干扰视为噪声、同时译码、同时非唯一译码）到 Han-Kobayashi 速率分裂编码方案，并给出强干扰和弱干扰两种极端情形下的容量结果。
免责声明：内容来源于课程讲义和PPT，经AI辅助汇总完成，不作为考试范围参考，仅供学习交流。如有错误或遗漏，请以原始课程资料为准。

1. 干扰信道模型

干扰信道（IC）是最基本的多用户干扰模型：两个独立的发送-接收对共享同一通信媒介，每对用户之间相互产生干扰。

1.1 数学模型

    graph TB
    M1["M₁"] --> ENC1["编码器 1<br/>X₁^n(M₁)"]
    M2["M₂"] --> ENC2["编码器 2<br/>X₂^n(M₂)"]
    ENC1 -->|"X₁^n"| CH["干扰信道<br/>p(y₁,y₂|x₁,x₂)"]
    ENC2 -->|"X₂^n"| CH
    CH -->|"Y₁^n"| DEC1["译码器 1<br/>M̂₁(Y₁^n)"]
    CH -->|"Y₂^n"| DEC2["译码器 2<br/>M̂₂(Y₂^n)"]

    style CH fill:#f3e5f5,stroke:#7b1fa2
    style DEC1 fill:#e8f5e9,stroke:#2e7d32
    style DEC2 fill:#e8f5e9,stroke:#2e7d32
    style ENC1 fill:#e3f2fd,stroke:#1565c0
    style ENC2 fill:#fff3e0,stroke:#e65100

离散无记忆 IC（DM-IC）: $(\mathcal{X}_1 \times \mathcal{X}_2, p(y_1, y_2 | x_1, x_2), \mathcal{Y}_1 \times \mathcal{Y}_2)$

无记忆性: $p(y_1^n, y_2^n | x_1^n, x_2^n) = \prod_i p(y_{1i}, y_{2i} | x_{1i}, x_{2i})$

1.2 码的定义

一个 $(2^{nR_1}, 2^{nR_2}, n)$ 码包含：

组件	定义
编码器 1	$x_1^n(m_1): [1:2^{nR_1}] \to \mathcal{X}_1^n$
编码器 2	$x_2^n(m_2): [1:2^{nR_2}] \to \mathcal{X}_2^n$
译码器 1	$\hat{m}_1(y_1^n): \mathcal{Y}_1^n \to [1:2^{nR_1}] \cup {e}$
译码器 2	$\hat{m}_2(y_2^n): \mathcal{Y}_2^n \to [1:2^{nR_2}] \cup {e}$

错误概率: $P_e^{(n)} = P{(\hat{M}_1, \hat{M}_2) \neq (M_1, M_2)}$

⚠️ IC 的容量区域在一般情况下仍未知。与 BC 一样，仅对某些特殊类别有完整刻画。

引理: IC 的容量区域仅通过条件边缘分布 $p(y_1|x_1, x_2)$ 和 $p(y_2|x_1, x_2)$ 依赖于 $p(y_1, y_2|x_1, x_2)$（与 BC 完全一样）。

1.3 历史脉络

年份	工作
1974	Ahlswede 首次研究干扰信道
1975	Carleial 为高斯 IC 引入极强干扰概念
1978	Carleial 提出速率分裂思想，用逐次消去译码 + 未编码时分给出内界
1981	Han-Kobayashi 用同时译码 + 编码时分改进内界 → 迄今最好的内界
2004	Kramer 为高斯 IC 提出基于”精灵”（genie）的外界
2008	Chong-Motani-Garg-El Gamal 给出 H-K 内界的 7 不等式等价刻画；Etkin-Tse-Wang 建立半比特定理；Cadambe-Jafar 提出干扰对齐
2011	Avestimehr-Diggavi-Tse 提出 q 进制展开确定性信道的近似方法

2. 简单界与实例

2.1 单用户容量与和速率上界

界	公式
单用户容量	$C_1 = \max_{p(x_1), x_2} I(X_1; Y_1 \vert X_2 = x_2), C_2 = \max_{p(x_2), x_1} I(X_2; Y_2 \vert X_1 = x_1)$
和速率上界	$R_1 + R_2 \leq C_{12} = \max_{p(x_1)p(x_2)} \min_{\tilde{p} \in \tilde{\mathcal{P}}} I(X_1, X_2; Y_1, Y_2)$

其中 $\tilde{p}(y_1, y_2|x_1, x_2) \in \tilde{\mathcal{P}}$ 具有与 $p(y_j|x_1, x_2)$ 相同边缘分布的所有可能联合分布——这是 Sato 上界的核心思想。

一般外界（NIT 式 6.4）: 任何可达速率对必满足

$\begin{aligned} R_1 &\leq I(X_1; Y_1 | X_2, Q) \\\\ R_2 &\leq I(X_2; Y_2 | X_1, Q) \\\\ R_1 + R_2 &\leq \min_{\tilde{p}} I(X_1, X_2; Y_1, Y_2 | Q) \end{aligned}$

对某个 $p(q)p(x_1|q)p(x_2|q)$ 成立，其中第三个不等式中的最小化在所有与给定信道具有相同条件边缘分布的 $\tilde{p}(y_1, y_2|x_1, x_2)$ 上进行（利用了 §1.2 的引理：容量区域只依赖于边缘分布）。该外界是时分内界之外最重要的参考区域。

以坐标图表示：

R₂
^
| C₂ ●────────┐
|    │  ？    │← Sato 外界
|    │ TD内界 │
|    └───────●──── C₁₂
+────────────────────> R₁
                 C₁

2.2 两个极端实例

模二和 IC

$Y_1 = Y_2 = X_1 \oplus X_2$

    graph LR
    X1["X₁"] --> XOR(("⊕"))
    X2["X₂"] --> XOR
    XOR --> Y1["Y₁ = Y₂"]

容量区域（NIT Example 6.1）:

内界: 时分内界给出 $R_1 < \alpha C_1, R_2 < \bar{\alpha} C_2$，其中 $C_1 = C_2 = 1$（令干扰端发送 $0$，$Y_1 = X_1$），即 $R_1 + R_2 < 1$
上界: 允许两接收端合作时 $R_1 + R_2 \leq C_{12} = \max_{p(x_1)p(x_2)} I(X_1, X_2; Y_1, Y_2)$ 。本例中 $Y_1 = Y_2$ 且为二元输出，故 $I(X_1, X_2; Y_1, Y_2) = I(X_1, X_2; Y_1) \leq H(Y_1) \leq 1$ ，即 $R_1 + R_2 \leq 1$
内外界重合：容量区域 = 时分三角区域 ${(R_1, R_2): R_1 + R_2 \leq 1}$——时分最优的罕见例子

处理和速率上界的关键是 Sato 技巧：由于 $Y_1$ 、 $Y_2$ 的条件边缘分布相同（都是模二和）， $\min_{\tilde{p}}$ 在 $Y_1 = Y_2$ （完全相关）的耦合上取到，从而把两个输出”合并”为一个来约束和速率。

无干扰信道

$p(y_1, y_2 | x_1, x_2) = p(y_1 | x_1) p(y_2 | x_2)$

    graph LR
    X1["X₁"] -->|"p(y₁|x₁)"| Y1["Y₁"]
    X2["X₂"] -->|"p(y₂|x₂)"| Y2["Y₂"]

容量区域 = 矩形：$R_1 \leq C_1, R_2 \leq C_2$。

3. 点对点编码策略

这些策略仅使用为点对点通信设计的码本（各编码器独立生成码字），不涉及消息分裂或叠加编码。

所有策略共享相同的码本生成过程（带编码时间共享变量 $Q$）:

步骤	操作
时间共享序列	随机生成 $q^n \sim \prod P_Q(q_i)$
码本 1	条件独立生成 $2^{nR_1}$ 个 $X_1^n(m_1) \sim \prod P_{X_1\vert Q}(x_{1i}\vert q_i)$
码本 2	条件独立生成 $2^{nR_2}$ 个 $X_2^n(m_2) \sim \prod P_{X_2\vert Q}(x_{2i}\vert q_i)$
编码	编码器 $j$ 发送 $X_j^n(m_j)$

3.1 将干扰视为噪声（IAN — Interference as Noise）

译码: 译码器 $j$ 找唯一 $\hat{m}_j$ 使 $(q^n, X_j^n(\hat{m}_j), Y_j^n) \in T_\epsilon^{(n)}$ （忽略另一个用户的码字）。

IAN 内界:
$\boxed{R_1 < I(X_1; Y_1 | Q), \quad R_2 < I(X_2; Y_2 | Q)}$
对某个 $p(q)p(x_1|q)p(x_2|q)$ 成立。

    graph LR
    subgraph IAN 策略
        DEC1["译码器 1"] -->|"X₂视为噪声"| OUT1["m̂₁"]
        DEC2["译码器 2"] -->|"X₁视为噪声"| OUT2["m̂₂"]
    end

紧条件:

无干扰信道: IAN 退化为两个独立点对点信道容量
模二和 IC（对称 $p_{Y_1|X_1,X_2} = p_{Y_2|X_1,X_2}$ ）: IAN 是紧的
包含 TDMA 作为特殊情况

3.2 同时译码（SD — Simultaneous Decoding）

译码: 译码器 $j$ 找唯一对 $(\hat{m}_1, \hat{m}_2)$ 使 $(q^n, X_1^n(\hat{m}_1), X_2^n(\hat{m}_2), Y_j^n) \in T_\epsilon^{(n)}$ 。

SD 内界:
$\boxed{\begin{aligned} R_1 &< \min\{I(X_1; Y_1 | X_2, Q),\; I(X_1; Y_2 | X_2, Q)\} \\\\ R_2 &< \min\{I(X_2; Y_2 | X_1, Q),\; I(X_2; Y_1 | X_1, Q)\} \\\\ R_1 + R_2 &< \min\{I(X_1, X_2; Y_1 | Q),\; I(X_1, X_2; Y_2 | Q)\} \end{aligned}}$
每个译码器都试图同时译出两个消息——利用对干扰信号的结构知识来消除干扰。

📌 两点说明（NIT Remark 6.1 / Example 6.3）:

编码时分 vs 未编码时分: 与 MAC 不同，SD 内界可以严格大于对 $R(X_1, X_2)$ 取凸包的未编码时分区域——编码时分共享（把 $Q$ 编进码本）能获得更高速率，是达到该内界所必需的

紧条件: SD 对对称 IC（ $p_{Y_1|X_1,X_2} = p_{Y_2|X_1,X_2}$ ，如模二和 IC）是紧的：此时外界（式 6.4）的 $\min_{\tilde{p}}$ 在 $Y_1 = Y_2$ 处取到，恰好与 SD 区域吻合

3.3 同时非唯一译码（SND — Simultaneous Nonunique Decoding）

与 SD 的区别：译码器不要求唯一地确定干扰用户的消息——只要求存在某个 $m_2$（对译码器 1 而言）使联合典型条件成立。

译码器 1: 找唯一 $\hat{m}_1$ 使 $(q^n, X_1^n(\hat{m}_1), X_2^n(m_2), Y_1^n) \in T_\epsilon^{(n)}$ 对某个 $m_2$ 成立。

SND 内界:
$\boxed{\begin{aligned} R_1 &< I(X_1; Y_1 | X_2, Q) \\\\ R_2 &< I(X_2; Y_2 | X_1, Q) \\\\ R_1 + R_2 &< \min\{I(X_1, X_2; Y_1 | Q),\; I(X_1, X_2; Y_2 | Q)\} \end{aligned}}$

    graph TB
    subgraph SD vs SND
        SDD["SD: 译码器1需唯一确定 (m̂₁,m̂₂)"]
        SNDD["SND: 译码器1只需唯一确定 m̂₁<br/>允许 m₂ 不唯一"]
    end

SND 错误事件分析（以译码器 1 为例）:

事件	定义	概率 → 0 的条件
$E_1$	正确码字不典型	LLN
$E_{21}$	$m_1 \neq 1, m_2 = 1$ 但联合典型	$R_1 < I(X_1; Y_1 \vert X_2, Q)$（Packing Lemma）
$E_{22}$	$m_1 \neq 1, m_2 \neq 1$ 但联合典型	$R_1+R_2 < I(X_1, X_2; Y_1 \vert Q)$（Packing Lemma）

SD 与 SND 的差异: SD 还额外要求 $R_2 < I(X_2; Y_1|X_1, Q)$，因为译码器 1 必须唯一确定 $m_2$。SND 回避了这个约束 → SND 区域恒包含 SD 区域。

4. 强干扰与极强干扰

4.1 定义

条件	定义	物理含义
极强干扰（Very Strong）	$I(X_1; Y_1 \vert X_2) \leq I(X_1; Y_2)$ 且 $I(X_2; Y_2 \vert X_1) \leq I(X_2; Y_1)$（对所有 $p(x_1)p(x_2)$）	干扰链路比期望链路还好——译码干扰比译码自己消息容易
强干扰（Strong）	$I(X_1; Y_1 \vert X_2) \leq I(X_1; Y_2 \vert X_2)$ 且 $I(X_2; Y_2 \vert X_1) \leq I(X_2; Y_1 \vert X_1)$	联合条件互信息：已知自己输入时，干扰链路比期望链路提供更多信息

极强 ⇒ 强，但逆一般不成立。例如：$X_1, X_2 \in {0,1}$, $Y_1 = Y_2 = X_1 + X_2 \in {0, 1, 2}$——是强干扰但不是极强干扰。

📌 强干扰条件与 BC 中 More Capable 的概念类似：$I(X_1; Y_1|X_2) \leq I(X_1; Y_2|X_2)$ 意味着在已知 $X_2$ 时，$Y_2$ 比 $Y_1$ 包含更多关于 $X_1$ 的信息。

4.2 强干扰的容量区域（Costa-El Gamal 1987）

定理: 强干扰 IC 的容量区域是所有满足以下条件的 $(R_1, R_2)$ 的集合：
$\boxed{\begin{aligned} R_1 &< I(X_1; Y_1 | X_2, Q) \\\\ R_2 &< I(X_2; Y_2 | X_1, Q) \\\\ R_1 + R_2 &< \min\{I(X_1, X_2; Y_1 | Q),\; I(X_1, X_2; Y_2 | Q)\} \end{aligned}}$
对某个 $p(q)p(x_1|q)p(x_2|q)$，$\vert Q\vert \leq 4$。

可达性: SD 内界在强干扰条件下简化为上述区域（因为 $I(X_1;Y_1|X_2,Q) \leq I(X_1;Y_2|X_2,Q)$ 等自动满足）。
逆定理: 利用强干扰条件 $I(X_1^n; Y_1^n|X_2^n) \leq I(X_1^n; Y_2^n|X_2^n)$（对任意 $p(x_1^n)p(x_2^n)$ 和所有 $n$ 成立）。

4.3 极强干扰的容量区域

定理: 极强干扰 IC 的容量区域 = 无干扰时的容量区域：
$\boxed{R_1 < I(X_1; Y_1 | X_2, Q), \quad R_2 < I(X_2; Y_2 | X_1, Q)}$
其中 $\vert Q\vert \leq 2$。

第三个不等式消失——和速率不受限制。
可达方法: SC 译码（先译干扰、消除后再译自己消息）即可达到容量（也可用唯一或非唯一同时译码 + 时分共享）。干扰实质上不损害通信。

📌 注意: 该区域（$R_j < I(X_j; Y_j | X_k, Q)$）对任意 DM-IC 都是一个外界（讲义提示 “check!”）——极强干扰条件的意义正在于把这个”平凡外界”变成可达的。

5. 高斯干扰信道

5.1 模型

    graph TB
    X1["X₁ ~ N(0,P)"] -->|"g₁₁"| Y1(("Y₁"))
    X1 -->|"g₂₁"| Y2(("Y₂"))
    X2["X₂ ~ N(0,P)"] -->|"g₁₂"| Y1
    X2 -->|"g₂₂"| Y2
    Z1["Z₁ ~ N(0,1)"] --> Y1
    Z2["Z₂ ~ N(0,1)"] --> Y2

写成向量形式：$\mathbf{Y} = \mathbf{G}\mathbf{X} + \mathbf{Z}$。

参数	定义
$S_1 = g_{11}^2 P, S_2 = g_{22}^2 P$	期望信号的 SNR
$I_1 = g_{12}^2 P, I_2 = g_{21}^2 P$	干扰信号的 INR

5.2 点对点策略在高斯 IC 中的可达速率

(1) 功率控制的时分（TD with Power Control）

$R_1 < \alpha C(S_1/\alpha), \quad R_2 < \bar{\alpha}C(S_2/\bar{\alpha})$

对某个 $\alpha \in [0, 1]$。其中 $C(x) = \frac{1}{2}\log(1+x)$，$P{Q=1}=\alpha$。

在独占时隙中，功率可提升到 $P/\alpha$ 以补偿时间损失。

(2) 将干扰视为高斯噪声（IAN-Gaussian）

$R_1 < C\!\left(\frac{S_1}{1+I_1}\right), \quad R_2 < C\!\left(\frac{S_2}{1+I_2}\right)$

最优条件: 在弱干扰下和速率最优（见 §5.5 与 NIT §6.4.3）。

⚠️ 注意: 一般 DM-IC 的 IAN 内界评估非常困难——高斯输入未必是最优分布（对高斯 IC 求 $I(X_1; Y_1|Q)$ 时，高斯分布的最优性仍是未解问题）。取高斯输入只是给出一个可达下界，并可用时分共享 + 功率控制进一步改进。

(3) SND-Gaussian

$R_1 < C(S_1), \quad R_2 < C(S_2), \quad R_1+R_2 < \min\{C(S_1+I_1), C(S_2+I_2)\}$

5.3 强干扰与极强干扰的 SNR 条件（Sato 1981）

条件	SNR/INR 判据	容量
强干扰	$I_2 \geq S_1$ 且 $I_1 \geq S_2$	SND 区域
极强干扰	$S_2 \leq I_1/(1+S_1)$ 且 $S_1 \leq I_2/(1+S_2)$	$R_1 < C(S_1), R_2 < C(S_2)$（无干扰容量）

极强干扰下，干扰完全不损害通信——每个用户可以达到和无干扰时相同的速率。

5.4 策略对比图

1
2
3

强干扰:               弱干扰:              中间区域:
SND最优              IAN最优              H-K最优
                     (将干扰视为噪声)      (速率分裂)

5.5 弱干扰的和容量（NIT §6.4.3）

弱干扰条件: 若存在 $\rho_1, \rho_2 \in [0, 1]$ 使

$\sqrt{\frac{I_1}{S_2}}\,(1 + I_2) \leq \rho_2\sqrt{1 - \rho_1^2}, \qquad \sqrt{\frac{I_2}{S_1}}\,(1 + I_1) \leq \rho_1\sqrt{1 - \rho_2^2}$

则称高斯 IC 具有弱干扰。对称情形（$I_1 = I_2 = I$，$S_1 = S_2 = S$）下条件简化为 $\sqrt{I/S}\,(1+I) \leq 1/2$。

定理（弱干扰和容量，Shang-Kramer-Chen 2009 等）: 弱干扰条件下，将干扰视为噪声对和速率是最优的：
$\boxed{C_{\text{sum}} = C\!\left(\frac{S_1}{1 + I_1}\right) + C\!\left(\frac{S_2}{1 + I_2}\right)}$
对称情形：$C_{\text{sum}} = 2C(S/(1+I))$，由高斯输入达到。

逆定理思路——精灵（genie）论证（为简洁起见考虑对称情形 $I_1 = I_2 = I$，$S_1 = S_2 = S$）: 引入一个”精灵”，向译码器 $j$ 泄露边信息

$T_1 = \sqrt{I/P}(X_1 + \eta W_1), \qquad T_2 = \sqrt{I/P}(X_2 + \eta W_2)$

其中 $W_j \sim \mathcal{N}(0,1)$ 与 $Z_j$ 相关（$E(Z_j W_j) = \rho$）。证明分两步：

有用精灵（useful genie）: 若 $\eta^2 I \leq (1-\rho^2)P$，精灵信道的和容量由高斯输入 + 将干扰视为噪声达到
聪明精灵（smart genie）: 若再取 $\eta\rho\sqrt{S/P} = 1 + I$，则 $E(T_1^* | X_1^*, Y_1^*) = E(T_1^* | Y_1^*)$ ，即 $X_1^* \to Y_1^* \to T_1^*$ 成 Markov 链——此时精灵信道与原信道有相同的和容量（精灵信息”不含新信息”）

消去 $\eta$ 即得弱干扰条件；证明过程用到最大微分熵引理、”高斯是最坏噪声”等工具（NIT Appendix 6A）。

6. Han-Kobayashi 编码方案

点对点策略在两种极端情形下最优——强干扰（译码干扰）和弱干扰（将干扰视为噪声）。但对于中间情形，需要更精细的策略。

6.1 核心思想：速率分裂（Rate Splitting）

Han-Kobayashi (1981) 提出了 IC 研究中最重要的编码方案：

    graph TB
    subgraph U1["用户 1"]
        M1["M₁"] --> SPLIT1["速率分裂"]
        SPLIT1 --> M10["M₁₀ (公共)<br/>速率 R₁₀"]
        SPLIT1 --> M11["M₁₁ (私密)<br/>速率 R₁₁"]
    end
    subgraph U2["用户 2"]
        M2["M₂"] --> SPLIT2["速率分裂"]
        SPLIT2 --> M20["M₂₀ (公共)<br/>速率 R₂₀"]
        SPLIT2 --> M22["M₂₂ (私密)<br/>速率 R₂₂"]
    end

    style U1 fill:#e3f2fd,stroke:#1565c0
    style U2 fill:#fff3e0,stroke:#e65100
    style SPLIT1 fill:#bbdefb
    style SPLIT2 fill:#ffe0b2

🔑 关键创新: 将每个用户的消息分裂为两部分：

公共消息 $M_{j0}$：两个译码器都需要译码（在强干扰下被对端译码）

私密消息 $M_{jj}$：只有自己的译码器需要译码（被对端视为噪声）

消息	译码器 1	译码器 2
$M_{10}$（用户 1 公共）	✅ 译码	✅ 译码（消除干扰）
$M_{11}$（用户 1 私密）	✅ 译码	❌ 视为噪声
$M_{20}$（用户 2 公共）	✅ 译码（消除干扰）	✅ 译码
$M_{22}$（用户 2 私密）	❌ 视为噪声	✅ 译码

叠加编码结构: 公共消息 $U_j$ 作为”云中心”，私密消息 $X_j$ 叠加在其上。

6.2 Han-Kobayashi 内界定理（1981）⭐

定理: $(R_1, R_2)$ 可达如果存在 $p(q)p(u_1, x_1|q)p(u_2, x_2|q)$ 满足以下七个不等式（Fourier-Motzkin 消元结果）:
$\boxed{\begin{aligned} R_1 &< I(X_1; Y_1 | U_2, Q) \\\\ R_2 &< I(X_2; Y_2 | U_1, Q) \\\\[4pt] R_1 + R_2 &< I(X_1, U_2; Y_1 | Q) + I(X_2; Y_2 | U_1, U_2, Q) \\\\ R_1 + R_2 &< I(X_2, U_1; Y_2 | Q) + I(X_1; Y_1 | U_1, U_2, Q) \\\\ R_1 + R_2 &< I(X_1, U_2; Y_1 | U_1, Q) + I(X_2, U_1; Y_2 | U_2, Q) \\\\[4pt] 2R_1 + R_2 &< I(X_1, U_2; Y_1 | Q) + I(X_1; Y_1 | U_1, U_2, Q) + I(X_2, U_1; Y_2 | U_2, Q) \\\\ R_1 + 2R_2 &< I(X_2, U_1; Y_2 | Q) + I(X_2; Y_2 | U_1, U_2, Q) + I(X_1, U_2; Y_1 | U_1, Q) \end{aligned}}$
其中 $|\mathcal{U}_1| \leq |\mathcal{X}_1|+4$，$|\mathcal{U}_2| \leq |\mathcal{X}_2|+4$，$|Q| \leq 6$（教材与课程讲义均作 $\leq 6$；PPT 写作 $\leq 7$）。

特例退化:

设 $U_j = \emptyset$（无公共消息，全部私密）→ 退化为 IAN 内界
设 $U_j = X_j$（无私密消息，全部公共）→ 退化为 SND 内界
H-K 内界对所有已知容量区域的 IC 类都是紧的，是 DM-IC 目前最好的内界

📌 历史注记: 原始 H-K 界用 4 个辅助变量、14 个不等式刻画；Chong-Motani-Garg-El Gamal（2008）将其简化为上述 7 个不等式的等价形式。对高斯 IC 可用高斯 $(U_j, X_j)$ 评估该内界，但高斯分布是否充分仍是未解问题（NIT Remark 6.6）。

6.3 可达性证明概要（NIT §6.5.1）

码本生成（固定 $p(q)p(u_1, x_1|q)p(u_2, x_2|q)$）:

步骤	操作
时间共享	生成 $q^n \sim \prod p_Q(q_i)$
云中心（公共消息）	对 $j = 1, 2$，条件独立生成 $2^{nR_{j0}}$ 个 $U_j^n(m_{j0}) \sim \prod p_{U_j\vert Q}$
卫星（私密消息）	对每个 $m_{j0}$ ，条件独立生成 $2^{nR_{jj}}$ 个 $X_j^n(m_{j0}, m_{jj}) \sim \prod p_{X_j\vert U_j, Q}$

编码: 发送 $m_j = (m_{j0}, m_{jj})$ 时，编码器 $j$ 发送 $X_j^n(m_{j0}, m_{jj})$ 。

译码（同时非唯一译码）: 译码器 1 找唯一 $(\hat{m}_{10}, \hat{m}_{11})$ 使 $(q^n, U_1^n(\hat{m}_{10}), U_2^n(m_{20}), X_1^n(\hat{m}_{10}, \hat{m}_{11}), Y_1^n) \in T_\epsilon^{(n)}$ 对某个 $m_{20}$ 成立；译码器 2 对称。

错误分析表（译码器 1 视角，假设发送 $((1,1), (1,1))$，NIT Table 6.1）:

情形	$m_{10}$	$m_{20}$	$m_{11}$	联合分布	错误条件（Packing Lemma）
1	1	1	1	$p(u_1,x_1)p(u_2)p(y_1\vert x_1,u_2)$	正确（参考，LLN）
2	1	1	*	$p(u_1,x_1)p(u_2)p(y_1\vert u_1,u_2)$	$R_{11} < I(X_1; Y_1\vert U_1, U_2, Q)$
3	*	1	*	$p(u_1,x_1)p(u_2)p(y_1\vert u_2)$	$R_{10}+R_{11} < I(X_1; Y_1\vert U_2, Q)$
4	*	1	1	$p(u_1,x_1)p(u_2)p(y_1\vert u_2)$	$R_{10}+R_{11} < I(X_1; Y_1\vert U_2, Q)$
5	1	*	*	$p(u_1,x_1)p(u_2)p(y_1\vert u_1)$	$R_{11}+R_{20} < I(X_1, U_2; Y_1\vert U_1, Q)$
6	*	*	1	$p(u_1,x_1)p(u_2)p(y_1)$	$R_{10}+R_{11}+R_{20} < I(X_1,U_2;Y_1\vert Q)$
7	*	*	*	$p(u_1,x_1)p(u_2)p(y_1)$	$R_{10}+R_{11}+R_{20} < I(X_1,U_2;Y_1\vert Q)$
8	1	*	1	$p(u_1,x_1)p(u_2)p(y_1\vert x_1)$	不造成错误

情形 3、4 与情形 6、7 分别共享同一 pmf。注意 $R_{22}$（用户 2 私密速率）不出现在译码器 1 的任何条件中——非唯一译码下译码器 1 无需译用户 2 的私密消息（情形 8 正是”只有 $m_{20}$ 错”的情形，不影响译码器 1 找到正确的 $(\hat{m}_{10}, \hat{m}_{11})$ ）。

汇总速率条件（译码器 1 四个 + 译码器 2 对称四个）:

$\begin{aligned} \text{译码器 1:}\quad &R_{11} < I(X_1; Y_1 | U_1, U_2, Q), & R_{11} + R_{10} &< I(X_1; Y_1 | U_2, Q) \\\\ &R_{11} + R_{20} < I(X_1, U_2; Y_1 | U_1, Q), & R_{11} + R_{10} + R_{20} &< I(X_1, U_2; Y_1 | Q) \\\\ \text{译码器 2:}\quad &R_{22} < I(X_2; Y_2 | U_1, U_2, Q), & R_{22} + R_{20} &< I(X_2; Y_2 | U_1, Q) \\\\ &R_{22} + R_{10} < I(X_2, U_1; Y_2 | U_2, Q), & R_{22} + R_{20} + R_{10} &< I(X_2, U_1; Y_2 | Q) \end{aligned}$

代入 $R_1 = R_{10} + R_{11}$、$R_2 = R_{20} + R_{22}$ ，在约束 $0 \leq R_{j0} \leq R_j$ 下对 $R_{10}, R_{20}$ 做 Fourier-Motzkin 消元（附录 D），即得 §6.2 的 7 个不等式。

7. 注入式确定性/半确定 IC

7.1 注入式确定性 IC（El Gamal-Costa 1982）

    graph TB
    X1["X₁"] --> T1["t₁(X₁)"]
    X2["X₂"] --> T2["t₂(X₂)"]
    T1 --> Y1F["Y₁ = y₁(X₁, T₂)"]
    T2 --> Y1F
    T1 --> Y2F["Y₂ = y₂(X₂, T₁)"]
    T2 --> Y2F

定义: 对每个 $x_1$，$y_1(x_1, t_2)$ 是 $t_2$ 的一一映射；对每个 $x_2$，$y_2(x_2, t_1)$ 是 $t_1$ 的一一映射。等价于：$H(Y_1|X_1) = H(T_2)$ 且 $H(Y_2|X_2) = H(T_1)$（对所有 $p(x_1)p(x_2)$）。

这种结构中，已知自己的输入后，可以从输出中完美恢复干扰信号——这正是”注入式确定性”的含义。

7.2 容量区域（El Gamal-Costa 1982，NIT Theorem 6.5）

定理: 注入式确定性 IC 的容量区域是所有满足以下条件的 $(R_1, R_2)$ 的集合：
$\boxed{\begin{aligned} R_1 &\leq H(Y_1 | T_2, Q) \\\\ R_2 &\leq H(Y_2 | T_1, Q) \\\\ R_1 + R_2 &\leq H(Y_1 | Q) + H(Y_2 | T_1, T_2, Q) \\\\ R_1 + R_2 &\leq H(Y_1 | T_1, T_2, Q) + H(Y_2 | Q) \\\\ R_1 + R_2 &\leq H(Y_1 | T_1, Q) + H(Y_2 | T_2, Q) \\\\ 2R_1 + R_2 &\leq H(Y_1 | Q) + H(Y_1 | T_1, T_2, Q) + H(Y_2 | T_2, Q) \\\\ R_1 + 2R_2 &\leq H(Y_1 | T_1, Q) + H(Y_2 | Q) + H(Y_2 | T_1, T_2, Q) \end{aligned}}$
对某个 $p(q)p(x_1|q)p(x_2|q)$ 成立。

可达性: 该区域与 H-K 内界重合——只需取 $U_1 = T_1$、$U_2 = T_2$。由一一映射条件，译码器 1 译出 $X_1^n$ 后即知 $T_2^n$（反之亦然），故干扰变量 $T_1, T_2$ 天然充当 H-K 方案中代表公共消息的辅助变量（NIT Remark 6.7）。

逆定理关键步: 证第三个不等式时（NIT §6.6），

$n(R_1 + R_2) \leq I(M_1; Y_1^n) + I(M_2; Y_2^n) + n\epsilon_n \overset{(a)}{\leq} I(M_1; Y_1^n) + I(M_2; Y_2^n, T_2^n) + n\epsilon_n$

其中 (a) 是证明的核心——即使”精灵”把 $T_2^n$ 作为边信息送给译码器 2，容量区域也不变（$T_2^n$ 本就由译码器 2 的码字 $X_2^n$ 决定）。随后由 $H(Y_1^n|X_1^n) = H(T_2^n)$、$I(X_2^n; T_2^n|T_1^n) = H(T_2^n)$ 等化简即得 $n(R_1+R_2) \leq n[H(Y_1|Q) + H(Y_2|T_1,T_2,Q)] + n\epsilon_n$。

💡 注入式确定性 IC 是目前已知容量的最一般 IC 类别之一：高斯 IC（加性结构）是它的”有噪版本”——$y_1, y_2$ 为加法时一一条件自动满足，这正为 §8 的半比特定理铺路。

7.3 注入式半确定性 IC

放松确定性假设：$T_j$ 变为随机函数 $p(t_j|x_j)$。高斯 IC 是注入式半确定 IC 的特例（见下节）。

8. 高斯 IC 的半比特定理

8.1 背景

H-K 内界非常复杂（7 个不等式）。半比特定理告诉我们：对于高斯 IC，H-K 内界与容量区域的差距不超过 1/2 bit——这个常数差距在工程上是十分出色的。

8.2 定理（Etkin-Tse-Wang 2008）

定理（半比特定理）: 若 $(R_1, R_2)$ 属于高斯 IC 的外界 $\mathcal{R}_o$，则
$(R_1 - 1/2, R_2 - 1/2) \in \mathcal{R}_{\text{H-K}}$
即：H-K 内界距离容量区域至多 1/2 bit/维。

8.3 证明思路（Telatar-Tse 2007 引理）

将高斯 IC 表示为注入式半确定性 IC：

$\begin{aligned} T_1 &= g_{21}X_1 + Z_2, & Y_1 &= g_{11}X_1 + T_2 \\\\ T_2 &= g_{12}X_2 + Z_1, & Y_2 &= g_{22}X_2 + T_1 \end{aligned}$

其中 $Z_j, Z_j’ \sim \mathcal{N}(0, 1)$ 独立。

引理（Telatar-Tse 2007）: 若 $(R_1, R_2) \in \mathcal{R}_o(Q, X_1, X_2)$（外界），则

$(R_1 - I(X_2; T_2 | U_2, Q),\; R_2 - I(X_1; T_1 | U_1, Q)) \in \mathcal{R}_i(Q, X_1, X_2)$

关键一步: 在高斯情形下，取 $U_1 = g_{21}X_1 + Z_2'$ 、 $U_2 = g_{12}X_2 + Z_1'$ （ $Z_j' \sim \mathcal{N}(0,1)$ 为独立高斯噪声）：

$\begin{aligned} I(X_j; T_j | U_j, Q) &= h(T_j | U_j, Q) - h(T_j | X_j, U_j, Q) \\\\ &\leq h(T_j - U_j) - h(Z_{3-j}) \quad (\text{条件不增熵; 给定 } X_j \text{ 时 } T_j = g X_j + Z_{3-j})\\\\ &\leq \frac{1}{2}\log(2\pi e \cdot 2) - \frac{1}{2}\log(2\pi e) = \frac{1}{2}\log 2 = \frac{1}{2} \end{aligned}$

其中 $T_j - U_j = Z_{3-j} - Z_{3-j}' \sim \mathcal{N}(0, 2)$ （方差至多为 2，两个独立 $\mathcal{N}(0,1)$ 之差）。

因此 $I(X_j; T_j | U_j, Q) \leq 1/2$ bit——外界与内界逐项相差至多 $1/2$ bit，半比特定理得证。

9. 多于两对用户的干扰信道

⚠️ $K > 2$ 对用户的 IC 理解要少得多。与 MAC、BC 不同，两用户 IC 的结果向 $K$ 用户的推广远非平凡——每个接收机受的是所有干扰信号的联合作用，而非单个干扰信号。

方向	关键工作
H-K 的直接扩展	对 $K>2$ 可改进（不必译码每个单独干扰用户，而译码组合干扰）— Bresler-Parekh-Tse (2010), Bandemer-El Gamal (2011)
干扰对齐	设计码字使组合干扰在对端接收机处对齐到一个低维子空间 — Cadambe-Jafar (2008)
强干扰的扩展	目前尚不知道如何将强干扰概念自然推广到 $K>2$

干扰对齐的度自由度结果（讲义 §6.4）: 对 $K$ 用户时变高斯 IC，Cadambe-Jafar（2008）证明其和容量满足

$C(\text{SNR}) = \frac{K}{2}\log(\text{SNR}) + o(\log(\text{SNR}))$

即总自由度为 $K/2$——远大于正交化（时分/频分）所能达到的每用户 $1/K$（总自由度 1）。直觉是“人人分得半个蛋糕”：在每个接收机处把全部干扰信号对齐到一半的维度上，另一半维度留给期望信号自由使用。

对齐维度	实现方式
空间	多天线波束成形
时间	传播时延 / 时变信道的编码
频率	多普勒频移 / 频率选择性衰落的多载波编码
码	格码、多电平码使干扰在信号电平上对齐

10. 本章小结

10.1 核心公式

名称	公式
IAN 内界	$R_j < I(X_j; Y_j \vert Q)$
SD 内界	$R_j < \min{I(X_j;Y_j\vert X_k,Q), I(X_j;Y_k\vert X_k,Q)}$，$R_1+R_2 < \min{I(X_1,X_2;Y_1\vert Q), I(X_1,X_2;Y_2\vert Q)}$
SND 内界	$R_j < I(X_j; Y_j \vert X_k, Q)$，$R_1+R_2 < \min{I(X_1,X_2;Y_1\vert Q), I(X_1,X_2;Y_2\vert Q)}$
强干扰容量	SND 区域（$\vert Q\vert \leq 4$）
极强干扰容量	$R_j < I(X_j; Y_j \vert X_k, Q)$（$\vert Q\vert \leq 2$），无和速率约束
H-K 内界	7 个不等式（速率分裂 + 叠加编码 + Fourier-Motzkin）
高斯 IAN	$R_j < C(S_j/(1+I_j))$
高斯 SND	$R_j < C(S_j),\; R_1+R_2 < \min{C(S_1+I_1), C(S_2+I_2)}$
弱干扰和容量	$C_{\text{sum}} = C(\frac{S_1}{1+I_1}) + C(\frac{S_2}{1+I_2})$（条件 $\sqrt{I_1/S_2}(1+I_2) \leq \rho_2\sqrt{1-\rho_1^2}$ 等）
注入式确定性 IC 容量	7 个熵不等式（$R_1 \leq H(Y_1\vert T_2,Q)$ 等，NIT Theorem 6.5）
半比特定理	$(R_1, R_2) \in \mathcal{R}_o \implies (R_1-1/2, R_2-1/2) \in \mathcal{R}_{\text{H-K}}$

10.2 策略对比

策略	对待干扰的方式	适用场景	复杂度
IAN	视为噪声	弱干扰	最低
SD	完全译码	强干扰	中
SND	非唯一译码	强干扰	中
H-K	速率分裂：部分译码+部分视为噪声	任意	最高
TDMA	时间正交（无干扰）	任意（但次优）	最低

10.3 干扰强度的 SNR 判据（高斯 IC）

条件	SNR/INR 条件	最优策略
弱干扰	SNR/INR 综合判断	IAN（将干扰视为噪声）
强干扰	$I_2 \geq S_1$ 且 $I_1 \geq S_2$	SND（译码干扰）
极强干扰	$S_2 \leq I_1/(1+S_1)$ 且 $S_1 \leq I_2/(1+S_2)$	SC 译码（先消干扰再译自己）
中间区域	其他	H-K 速率分裂

10.4 H-K 速率分裂

速率分量	物理含义	译码器 1	译码器 2
$R_{10}$（用户 1 公共）	两个译码器都译	✅	✅
$R_{11}$（用户 1 私密）	仅译码器 1 译	✅	❌（视为噪声）
$R_{20}$（用户 2 公共）	两个译码器都译	✅	✅
$R_{22}$（用户 2 私密）	仅译码器 2 译	❌（视为噪声）	✅
$R_1 = R_{10}+R_{11}$	用户 1 总速率	—	—
$R_2 = R_{20}+R_{22}$	用户 2 总速率	—	—