第五章 中继信道（Relay Channels）

课程: 网络信息论（Network Information Theory）
教材: A. El Gamal and Y.-H. Kim, Network Information Theory, Cambridge University Press, 2011
整理说明: 本章介绍中继信道——三节点网络中最基本的协作通信模型。从割集上界出发，依次介绍直接传输、多跳、译码转发、部分译码转发、压缩转发等编码方案，并给出 AWGN 中继信道的容量近似结果。
免责声明：内容来源于课程讲义和PPT，经AI辅助汇总完成，不作为考试范围参考，仅供学习交流。如有错误或遗漏，请以原始课程资料为准。

目录

  1. 中继信道模型
  2. 割集上界
  3. 直接传输下界
  4. 多跳下界
  5. 协作多跳下界
  6. 译码转发（Decode-Forward）
  7. 部分译码转发（Partial Decode-Forward）
  8. 压缩转发（Compress-Forward）
  9. 高斯中继信道
  10. 本章小结

1. 中继信道模型

中继信道是三节点网络中最基本的协作通信模型：一个源节点、一个中继节点、一个目的节点。中继既接收也发送——它帮助源将信息传给目的。

1.1 数学模型

离散无记忆中继信道（DM-RC）: $(\mathcal{X}_1 \times \mathcal{X}_2, p(y_2, y_3 | x_1, x_2), \mathcal{Y}_2 \times \mathcal{Y}_3)$

符号 含义
$X_1$ 源发射信号
$X_2$ 中继发射信号
$Y_2$ 中继接收信号
$Y_3$ 目的接收信号

1.2 码的定义

一个 $(2^{nR}, n)$ 码包含：

组件 定义
源编码器 $x_1^n(m): [1:2^{nR}] \to \mathcal{X}_1^n$
中继编码器 $x_{2i}(y_2^{i-1}), i \in [1:n]$——因果地依赖于中继过去的接收
译码器 $\hat{m}(y_3^n)$

⚠️ 中继信道的容量在一般情况下未知。这与 BC 类似——已知紧的上下界仅在若干特殊情形。

1.3 历史与策略家族

历史脉络: 中继信道由 van der Meulen（1968, 1971）提出；主要的理论工作来自 Cover & El Gamal（1979），他们给出了割集上界与译码转发/压缩转发等基本方案。

模型视角: 中继信道同时结合了一个广播信道（BC：源 → 中继与目的）与一个多址接入信道（MAC：源+中继 → 目的），这也是其容量一般难以刻画的根源。

基本编码策略家族（讲义 §5.1）:

策略 核心思想
译码转发（DF） 中继完全译码源消息并协作转发；基于分组 Markov 叠加编码 + 随机 binning + 逐次译码（详见 §6）
压缩转发（CF） 中继不译码，将接收信号量化压缩后转发——本质上是 Wyner-Ziv 编码（详见 §8）
混合策略 DF 与 CF 的组合
放大转发（AF） 中继直接放大并转发接收波形，实现最简单（线性中继，见 NIT §16.8.2）
计算转发（CoF） [Nazer-Gastpar, TIT 2011] 中继译码消息的线性方程而非单个消息，依赖嵌套格码（nested lattice codes）的代数结构

双工模式: 全双工（full-duplex）中继可同时收发；半双工（half-duplex）中继不能同时收发，对应正交发送/接收分量的信道模型（见 §7.3、§8.4）。

2. 割集上界

割集上界（Cutset Upper Bound）是中继信道最基础的外界。

2.1 定理（Cover-El Gamal 1979）

定理: 中继信道的容量满足

📌 推广到中继网络: 对 $T$ 个节点的中继网络（源 + $T-2$ 个中继 + 目的），割集上界为

其中 $\mathcal{T} = {2, \ldots, T-1}$ 为中继节点集合，$X_S = {X_t : t \in S}$。$T = 3$ 时即退化为上述三节点形式。割集上界已成为网络容量分析的标准工具（max-flow min-cut 思想的推广）。

2.2 割集解释

割 合作假设 互信息上界 物理含义
割 1 $X_1$ 与 $X_2$ 协作 $R \leq I(X_1, X_2; Y_3)$ 合作 MAC：源+中继 → 目的
割 2 $Y_2$ 与 $Y_3$ 协作 $R \leq I(X_1; Y_2, Y_3 \vert X_2)$ 合作 BC：源 → 中继+目的（已知 $X_2$ 条件下）

容量被两个割中较小的那个限制：$C \leq \min{\text{割}_1, \text{割}_2}$。

2.3 逆定理证明概要（NIT §16.2）

对任意 $(2^{nR}, n)$ 码，由 Fano 不等式 $nR = H(M) \leq I(M; Y_3^n) + n\epsilon_n$。只需证明

割 1（合作 MAC 界）:

割 2（合作 BC 界）:

最后引入时分共享变量 $Q \sim \text{Unif}[1:n]$（与所有变量独立，且 成立），由 等单字母化步骤即得定理。

割集上界对几乎所有已知容量的中继信道类别都是紧的，但一般在一般情况下不紧（如教材 Example 16.2，正交接收分量的 RC 实例）。

3. 直接传输下界

当中继信道很弱时，最好的策略是不使用中继——中继仅作为被动旁观者。

3.1 定理（直接传输下界）

中继在通信中”不扮演主动角色”——$X_2$ 固定为某常数（或不含信息）。

3.2 紧条件：反向退化中继信道

定义：若 $X_1 \to (Y_3, X_2) \to Y_2$（在已知 $X_2$ 条件下），即

则割集上界退化为：

与直接传输下界吻合 → 容量已知。

4. 多跳下界

当直接链路极弱时，所有通信都经过中继。

4.1 定理（多跳下界）

项 物理含义
$I(X_1; Y_2 \vert X_2)$ 中继译码速率：中继已知自己上一块发送的 $X_2$，把 $X_2$ 的”自干扰”消去后译码
$I(X_2; Y_3)$ 目的译码速率：目的把源信号 $X_1$ 当噪声处理

4.2 紧条件：级联信道

若 $p(y_2, y_3 | x_1, x_2) = p(y_2 | x_1) p(y_3 | x_2)$（两段独立 DMC 的级联），则 $Y_2 \perp X_2$、$Y_3 \perp X_1$，多跳下界 = 割集上界：

4.3 可达性——分组 Markov 编码

核心思想：在 $b$ 个传输块中发送 $b-1$ 个消息，利用中继在块 $j$ 中转发前一块的消息。

1
2
消息:  m₁    m₂    m₃   ... m_{b-1}  1
块:    1     2     3    ...   b-1    b
步骤 内容
码本生成 $\forall j \in [1:b]$ ，独立生成 $2^{nR}$ 个
编码（块 $j$） 发送 ；中继发送 （上一块中继译出的消息）
中继译码
块 $j$ 结束		 找唯一 使
目的译码
块 $j+1$ 结束		 找唯一 使

速率条件: 中继译码 $R < I(X_1; Y_2 | X_2)$，目的译码 $R < I(X_2; Y_3)$。取 $\min$ 即得多跳下界。

错误事件分析（对块 $j$，设 $M_j = 1$）: 令 $\tilde{M}_j$ 为中继在块 $j$ 末的译码结果。由 ${\hat{M}_j \neq 1} \subseteq {\tilde{M}_j \neq 1} \cup {\hat{M}_j \neq \tilde{M}_j}$，错误仅当以下任一事件发生：

事件 定义 概率 → 0 的条件
$\tilde{E}_{j1}$ 无条件（LLN，码本独立性）
$\tilde{E}_{j2}$ $R < I(X_1; Y_2 \vert X_2)$ (Packing Lemma)
$E_{j1}$ 无条件 (LLN)
$E_{j2}$ : $R < I(X_2; Y_3)$ (Packing Lemma)

并界：。

5. 协作多跳下界

如果源知道中继将要发送什么，源和中继可以相干协作。

5.1 定理（协作多跳下界）

与普通多跳的区别: 两者目标函数形式完全相同（），唯一区别是优化范围从乘积分布 放宽为联合分布 ——允许 与 相关。由于源知道中继将要发送什么（中继译出的 源也已知），源可以通过条件码本 建立这种相关性，实现”相干”协作。

5.2 可达性（分组 Markov 编码 + 条件码本）

步骤 内容
码本生成 独立生成 $2^{nR}$ 个 ；对 每个 ，条件独立生成 个
编码（块 $j$） 源发送 （利用 作为条件来”对准”中继信号）
中继译码 找唯一 使
目的译码 找唯一 使

“Coherent”的含义: $X_1$ 和 $X_2$ 通过联合分布 $p(x_1, x_2)$ 建立相关性，使得在中继处 $X_1$ 和 $X_2$ 的信号可以”相干叠加”，提升 $Y_3$ 处的接收信噪比（对高斯信道而言）。

6. 译码转发（Decode-Forward）

译码转发（DF）是中继信道最经典的编码策略：中继完全译码源消息，然后在下一块中与源协作重传。

6.1 定理（DF 下界，Cover-El Gamal 1979）

项 物理含义
$I(X_1; Y_2 \vert X_2)$ 中继译码条件——中继能以多快的速率可靠地译出源消息
$I(X_1, X_2; Y_3)$ 目的译码条件——源+中继协作时目的能以多快的速率可靠译码

6.2 紧条件：物理退化中继信道

若 $X_1 \to (Y_2, X_2) \to Y_3$（即 $p(y_2, y_3|x_1, x_2) = p(y_2|x_1, x_2)p(y_3|y_2, x_2)$），DF 下界 = 割集上界：

📌 与割集上界的关键差别: DF 下界与割集上界的形式几乎相同，唯一差别是第二个互信息项中没有 $Y_3$——割集上界假设目的端也能向中继”无代价协作”（$Y_3$ 参与中继译码），而 DF 中中继只能利用自己的观测 $Y_2$。物理退化时 $Y_3$ 是 $Y_2$ 的退化版本（$X_1 \to (Y_2, X_2) \to Y_3$），$I(X_1; Y_2, Y_3|X_2) = I(X_1; Y_2|X_2)$，差距消失。

💡 实例（Sato 中继信道，NIT Example 16.1）: 退化 DM-RC 取 、、。直接传输仅得 bit/传输；使用一阶 Markov 中继函数 可达 ，二阶 Markov 中继函数可达 ，而容量（= DF 下界）为 。该例说明中继函数的历史依赖确实能提升速率，但最优速率仍由块长的编码方案（DF）给出。

6.3 可达性——后向译码（Backward Decoding）

DF 可达性的现代方案使用后向译码（Willems-van der Meulen 1985, Zeng-Kuhlmann-Buzo 1989），§6.4 给出 Cover-El Gamal 1979 的 binning 原证：

步骤 内容
码本/编码/中继译码 同协作多跳（条件码本）
后向译码 ；对于 ，找唯一 使

后向译码的关键: 假设 已正确译出（从后往前推），则在块 的接收 中， 提供了关于 的信息。速率条件：。

6.4 DF 的另一种可达性方案：Binning（Cover-El Gamal 1979 原证）

讲义给出的原始证明（CourseNotes §5.4，对应 NIT §16.4.5）不使用后向译码，而是采用随机 binning + 叠加编码 + 逐次译码，同样达到 DF 下界。

码本生成:

  • 将消息集 $[1:2^{nR}]$ 随机划分为 $2^{nR_2}$ 个 bin $\mathcal{B}(1), \ldots, \mathcal{B}(2^{nR_2})$（每个消息等概率落入某个 bin）
  • 对每个块 $j$：独立生成 个 ；对每个 ，条件独立生成 个

编码（块 $j$）: 设 （bin 索引）。源发送 ——码字条件在中继已知的 bin 索引上，实现叠加编码。

中继译码: 块 $j$ 末，中继已知 $l_{j-1}$，找唯一 $\tilde{m}_j$ 使

成功条件：$R < I(X_1; Y_2 | X_2)$ ①。块 $j+1$ 中继发送 $X_2^n(l_j)$，其中 $l_j$ 为 $\tilde{m}_j$ 所在的 bin 索引。

目的译码（逐次译码，块 $j+1$ 末）:

步骤 操作 速率条件
1 找唯一 使 $R_2 < I(X_2; Y_3)$
2 在 bin 中找唯一 使 $R - R_2 < I(X_1; Y_3 \vert X_2)$

步骤 2 中每个 bin 含 $2^{n(R-R_2)}$ 个候选，联合典型概率 $2^{-nI(X_1;Y_3|X_2)}$，由 Packing Lemma 得条件 $R - R_2 < I(X_1; Y_3 | X_2)$。

合并速率约束:

由 ① ② 得 $R < \min{I(X_1; Y_2|X_2),\; I(X_1, X_2; Y_3)}$——与 §6.3 后向译码方案殊途同归。

🔑 两种证明的对照: 后向译码（§6.3）让目的端”从后往前”利用 $m_{j+1}$ 的相干信息一次译出 $m_j$；Binning 方案（本节）则让中继只传bin 索引（速率 $R_2 < I(X_2;Y_3)$），目的端用逐次译码先恢复 bin、再在 bin 内利用源信号的叠加结构译出消息。后者是”逐次译码 + binning”思想在协作通信中的最早应用。

6.5 DF 的局限

⚠️ 当中继比目的节点弱时，DF 甚至不如直接传输！

1
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5
直接传输: C ≥ max I(X₁;Y₃|X₂=x₂)
DF:       C ≥ min{I(X₁,X₂;Y₃), I(X₁;Y₂|X₂)}

当 I(X₁;Y₂|X₂) < I(X₁;Y₃|X₂=x₂) 时,
DF受限于中继链路 → 直接传输更好

解决方案: 中继不需要译码全部消息，可以只译码一部分（部分译码转发），或者根本不译码（压缩转发）。

7. 部分译码转发（Partial Decode-Forward）

7.1 核心思想

将源消息 $M$ 拆分为两部分：$M = (M’, M’’)$。

  • $M’$: 中继译码并协作转发（使用 DF 策略）
  • $M’’$: 中继不译码，源直接发给目的（使用叠加编码）

7.2 定理（部分 DF 下界，Cover-El Gamal 1979）

码本结构:

速率分量 条件
$R’$（$M’$ 的相干协作部分） $R’ < \min{I(U; Y_2 \vert X_2), I(U, X_2; Y_3)}$
$R’’$（$M’’$ 的叠加编码部分） $R’’ < I(X_1; Y_3 \vert U, X_2)$

📌 两种退化情形: 取 $U = X_1$ 时部分 DF 退化为 §6 的 DF 下界；取 $U = \emptyset$ 时退化为 §3 的直接传输下界。辅助变量基数 $|\mathcal{U}| \leq |\mathcal{X}_1| \cdot |\mathcal{X}_2|$。部分 DF 的意义正在于在 DF 与直接传输之间连续插值。

7.3 紧条件

部分 DF 对以下两类信道是紧的：

信道 容量公式
半确定中继信道（El Gamal–Aref 1982）
$Y_2 = y_2(X_1, X_2)$		 $C = \max \min{I(X_1,X_2;Y_3), H(Y_2\vert X_2) + I(X_1;Y_3\vert X_2,Y_2)}$
正交发送分量 RC（El Gamal-Zahedi 2005） $C = \max \min{I(X_1’,X_2;Y_3), I(X_1’’;Y_2\vert X_2) + I(X_1’;Y_3\vert X_2)}$

8. 压缩转发（Compress-Forward）

压缩转发（CF，Cover-El Gamal 1979）是中继信道的另一种基本策略。与 DF 不同，中继不译码消息——它只是将接收到的 压缩/量化后转发给目的。当中继链路比直接链路弱时（ 的高斯情形），DF 甚至不如直接传输，而 CF 依然有效。

8.1 核心思想

🔑 CF 与 Wyner-Ziv 的联系: 中继对 $Y_2$ 的压缩是在目的端已知边信息 $Y_3$ 的情况下进行的——这正是 Wyner-Ziv 编码！目的利用 $Y_3$ 作为边信息来”解压缩”中继的量化信号 $\hat{Y}_2$。

8.2 定理（CF 下界，El Gamal-Mohseni-Zahedi 2006）

公式解读:

项 物理含义
$I(X_1; \hat{Y}_2, Y_3 \vert X_2)$ 源到”增强目的”（$Y_3$ + 解压缩的 $\hat{Y}_2$）的速率
$I(Y_2; \hat{Y}_2 \vert X_1, X_2, Y_3)$ 压缩代价——Wyner-Ziv 速率损失（$Y_2$ 到 $\hat{Y}_2$ 的量化所需额外速率）
$I(X_1, X_2; Y_3) - I(Y_2; \hat{Y}_2 \vert \ldots)$ 修正后的和速率

📌 原始形式（Cover-El Gamal 1979）: CF 下界可等价地写为约束优化形式（NIT Remark 16.3 / Appendix 16C）：

其中最大化在 $p(x_1)p(x_2)p(\hat{y}_2 | y_2, x_2)$ 上、并满足 Wyner-Ziv 压缩速率约束

即：中继对 的压缩描述 必须能以不超过中继-目的链路容量的速率传出去（讲义中的 即此形式）。两种形式等价，后一种在推导高斯 CF 速率时更直观。

8.3 可达性——Compress-Bin + 分组 Markov 编码

这是本章最复杂的编码方案——组合了分组 Markov 编码、Compress-Bin（Wyner-Ziv）和同时非唯一译码。

码本生成（固定 $p(x_1)p(x_2)p(\hat{y}_2|y_2, x_2)$）:

1
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5
对每个块 j ∈ [1:b]:
  - 独立生成 2^{nR} 个 X₁ⁿ(mⱼ)
  - 独立生成 2^{nR₂} 个 X₂ⁿ(l_{j-1})
  - 对每个 l_{j-1}, 条件独立生成 2^{nR̃₂} 个 Ŷ₂ⁿ(kⱼ|l_{j-1})
  - 将 [2^{nR̃₂}] 均分为 2^{nR₂} 个 bin B(lⱼ)

编码:

步骤 操作 速率条件
源 块 $j$ 发送 $X_1^n(m_j)$ —
中继（压缩） 块 $j$ 结束后，找 使
$\tilde{R}_2 > I(Y_2; \hat{Y}_2 \vert X_2)$
（Covering Lemma）
中继（转发） 块 $j+1$ 发送 $X_2^n(l_j)$，其中 $l_j$ 是 $k_j$ 的 bin 索引 —

译码（块 $j+1$ 结束后，同时非唯一译码）:

步骤 操作 速率条件
恢复 $l_j$ 找唯一 使 $R_2 < I(X_2; Y_3)$
恢复 $m_j$ 找唯一 使
，		 $R < I(X_1; \hat{Y}_2, Y_3 \vert X_2)$
且
$R + \tilde{R}_2 - R_2 < I(X_1; Y_3 \vert X_2) + I(\hat{Y}_2; X_1, Y_3 \vert X_2)$

错误事件分析（设 ，令 为中继选择的索引）: 译码错误仅当以下任一事件发生：

事件 定义 控制条件 工具
$\tilde{E}(j)$ : $\tilde{R}_2 > I(Y_2; \hat{Y}_2 \vert X_2)$ Covering Lemma
$E_1(j)$ $R_2 < I(X_2; Y_3)$ Packing Lemma（同多跳分析）
$E_2(j)$ 无条件（在 $\tilde{E}^c(j)$ 下） 条件典型引理
$E_3(j)$ : $R < I(X_1; \hat{Y}_2, Y_3 \vert X_2)$ Packing Lemma
$E_4(j)$ $\exists m_j \neq 1, \hat{k}_j \neq K_j \in \mathcal{B}(\hat{L}_j)$: 联合典型 $R + \tilde{R}_2 - R_2 < I(X_1; Y_3\vert X_2) + I(\hat{Y}_2; X_1, Y_3\vert X_2)$ 联合典型引理 × 2

其中 $E_4(j)$ 是”同时非唯一译码”特有的混淆事件：错误消息 $m_j \neq 1$ 与错误量化索引 $\hat{k}_j$ 配对出现（各 $2^{nR}$、$2^{n(\tilde{R}_2 - R_2)}$ 个候选，联合典型概率 $2^{-n[I(X_1;Y_3|X_2) + I(\hat{Y}_2;X_1,Y_3|X_2)]}$）。

Fourier-Motzkin 消元: 合并 $R < I(X_1; \hat{Y}_2, Y_3|X_2)$、$R + \tilde{R}_2 - R_2 < I(X_1;Y_3|X_2) + I(\hat{Y}_2;X_1,Y_3|X_2)$、$\tilde{R}_2 > I(Y_2;\hat{Y}_2|X_2)$ 与 $R_2 < I(X_2;Y_3)$，消去 $R_2, \tilde{R}_2$：

其中 (a) 利用了 Markov 链 $\hat{Y}_2 \to (X_2, Y_2) \to (X_1, Y_3)$（量化只在 $(X_2, Y_2)$ 上进行）。与 $R < I(X_1; \hat{Y}_2, Y_3|X_2)$ 取 $\min$ 即得 CF 下界。

8.4 CF 的优势与代价

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5
6
       割集上界
      /        \
译码转发    压缩转发
(中继强时好)  (中继弱时好)
      \        /
       直接传输
策略 适用场景 中继做什么
直接传输 中继极弱 什么也不做
多跳 无直接链路 译码并转发
译码转发 中继比目的强 译码、协作转发
部分译码转发 中继链路不够好 译码部分、协助部分
压缩转发 中继比目的弱 量化观测、转发压缩版本

CF 对具有正交接收分量的 RC 是紧的（NIT §16.7.3），该例同时表明割集上界在一般情况下不紧。

9. 高斯中继信道

9.1 模型

参数 含义
信道增益
各链路的接收 SNR
$Z_2, Z_3 \sim \mathcal{N}(0, 1)$ 独立 AWGN

⚠️ 高斯中继信道的容量对任意正 SNR 均未知。

9.2 容量近似结果

DF 和 CF 下界均在割集上界的 1/2 bit 以内：

界 AWGN 中的表达式
割集上界
直接传输 $C(S_{31})$
DF
CF

其中 $C(x) = \frac{1}{2}\log(1+x)$。

DF 可达性: 取 ，，其中 与 独立（ 携带”新”消息，先由中继译出）。则 （相干增益 ），（给定 后 的残余方差 ）。注意 时 DF 速率低于直接传输 。

CF 可达性: 取 ，量化 ， 独立。由 §8.2 的 Wyner-Ziv 压缩速率约束：

由 解得 ，取等号代入 即得表中 CF 速率。该速率在 时趋于紧； 较小时可用源端时分共享进一步改进（NIT §16.7.2）。

部分译码转发 = $\max{\text{DF}, \text{直接传输}}$——部分 DF 不提供超出 DF 和直接传输取 $\max$ 的增益（对全双工 AWGN 而言，NIT Remark 16.2 / Appendix 16B）。

9.3 退化高斯中继信道（讲义 Theorem 5.5.1）

一般高斯中继信道

的容量目前未知，只有上下界。但退化情形（中继看到的比目的”更好”）有精确容量：

（目的信号 = 中继信号 + 中继转发 + 额外噪声，满足物理退化 $X \to (Y_1, X_1) \to Y$）。功率约束：源 $P$、中继 $P_1$。

定理（退化高斯中继信道的容量）:

其中 $\bar{\alpha} = 1 - \alpha$，$C(x) = \frac{1}{2}\log_2(1+x)$。

证明思路（可达性）: 构造联合高斯分布：， 与 独立，取

经计算：

  • $\text{Cov}(X, X_1) = \sqrt{\bar{\alpha}PP_1}$，故 $I(X, X_1; Y) = C!\left(\frac{P + P_1 + 2\sqrt{\bar{\alpha}PP_1}}{N_1 + N_2}\right)$（相干叠加项 $2\sqrt{\bar{\alpha}PP_1}$）
  • $\text{Var}(X | X_1) = \alpha P$，故 $I(X; Y_1 | X_1) = C!\left(\frac{\alpha P}{N_1}\right)$

代入退化中继信道的容量公式 $C = \max_{p(x,x_1)} \min{I(X, X_1; Y),\; I(X; Y_1 | X_1)}$ 即得可达性；逆定理由割集上界与退化性 $I(X; Y_1, Y | X_1) = I(X; Y_1 | X_1)$ 给出。

💡 参数 $\alpha$ 的含义: $\alpha$ 控制源在”与中继协作”与”给中继发新信息”之间的功率分配。$\alpha = 0$ 时 $X = \sqrt{P/P_1}X_1$ 与中继完全相关（纯相干协作）；$\alpha = 1$ 时 $X \perp X_1$（无协作）。这与 §9.2 中 DF 公式的相关系数 $\rho$ 对应：$\rho^2 = \bar{\alpha} = 1 - \alpha$，$I(X_1; Y_2|X_2) \leftrightarrow C(\alpha P / N_1)$。

10. 本章小结

10.1 核心公式

名称 公式
割集上界 $\small{C \leq \max_{p(x_1,x_2)} \min{I(X_1,X_2;Y_3),\; I(X_1;Y_2,Y_3\vert X_2)}}$
直接传输下界 $\small{C \geq \max_{p(x_1,x_2)} I(X_1; Y_3 \vert X_2)}$
多跳下界 $\small{C \geq \max_{p(x_1)p(x_2)} \min{I(X_2;Y_3),\; I(X_1;Y_2\vert X_2)}}$
协作多跳下界 $\small{C \geq \max_{p(x_1,x_2)} \min{I(X_2;Y_3),\; I(X_1;Y_2\vert X_2)}}$
DF 下界 $\small{C \geq \max_{p(x_1,x_2)} \min{I(X_1,X_2;Y_3),\; I(X_1;Y_2\vert X_2)}}$
部分 DF 下界 $\small{C \geq \max_{p(u,x_1,x_2)} \min{I(X_1,X_2;Y_3),\; I(U;Y_2\vert X_2)+I(X_1;Y_3\vert X_2,U)}}$
CF 下界 $\small{C \geq \max_{p(x_1)p(x_2)p(\hat{y}_2\vert y_2,x_2)} \min{I(X_1,X_2;Y_3)-I(Y_2;\hat{Y}_2\vert X_1,X_2,Y_3),\; I(X_1;\hat{Y}_2,Y_3\vert X_2)}}$
退化高斯中继信道容量 $\small{C = \max_{0 \leq \alpha \leq 1} \min{C(\frac{P+P_1+2\sqrt{\bar{\alpha}PP_1}}{N_1+N_2}),\; C(\frac{\alpha P}{N_1})}}$

10.2 编码策略对比

策略 中继作用 编码技术 紧条件
直接传输 无 点对点编码 反向退化 RC
多跳 译码+转发 分组 Markov 级联信道
协作多跳 译码+相干协作 条件码本 + 分组 Markov —
译码转发（DF） 完全译码+协作 条件码本 + 后向译码 物理退化 RC
部分 DF 译码部分+叠加编码 叠加编码 + 条件码本 半确定 RC / 正交发送 RC
压缩转发（CF） 量化+Wyner-Ziv Compress-Bin + 分组 Markov 正交接收 RC

10.3 中继策略选择

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7
中继比目的强？
  ├── 是 → 用译码转发（DF）或部分 DF
  │       └── 中继能完全译码 → DF
  │       └── 中继只能译码部分 → 部分 DF
  └── 否 → 用压缩转发（CF）
            └── 前提：中继-目的链路尚可（能传压缩的 Ŷ₂）
            └── 否则 → 极弱时用直接传输

10.4 概念汇总

概念 解释
割集上界 将网络”割”为两部分，假设两侧可无代价协作
分组 Markov 编码 将 $b-1$ 个消息分布在 $b$ 个块中，利用中继的因果性
条件码本 依赖于中继已知的消息，实现相干协作
后向译码 从最后一块向前译码，利用 $m_{j+1}$ 的信息来帮助译 $m_j$
Compress-Bin 中继做 Wyner-Ziv 压缩：Covering 找 $\hat{Y}_2$ + Binning 传 bin 索引
Covering Lemma CF 中继端：$\tilde{R}_2 > I(Y_2; \hat{Y}_2\vert X_2)$ 保证码本中能找到匹配的量化
Packing Lemma CF 目的端：防止 bin 中出现多个混淆的 $\hat{Y}_2$