第五章 中继信道（Relay Channels）

课程: 网络信息论（Network Information Theory）
教材: A. El Gamal and Y.-H. Kim, Network Information Theory, Cambridge University Press, 2011
整理说明: 本章系统介绍中继信道——三节点网络中最基本的协作通信模型。从割集上界出发，依次介绍直接传输、多跳、译码转发、部分译码转发、压缩转发等编码方案，并给出 AWGN 中继信道的容量近似结果。
免责声明：本笔记内容来源于课程讲义和PPT，经AI辅助汇总完成，仅供学习参考。如有错误或遗漏，请以原始课程资料为准。

目录

  1. 中继信道模型
  2. 割集上界
  3. 直接传输下界
  4. 多跳下界
  5. 协作多跳下界
  6. 译码转发（Decode-Forward）
  7. 部分译码转发（Partial Decode-Forward）
  8. 压缩转发（Compress-Forward）
  9. 高斯中继信道
  10. 考试重点速查表

1. 中继信道模型

中继信道是三节点网络中最基本的协作通信模型：一个源节点、一个中继节点、一个目的节点。中继既接收也发送——它帮助源将信息传给目的。

1.1 数学模型

离散无记忆中继信道（DM-RC）: $(\mathcal{X}_1 \times \mathcal{X}_2, p(y_2, y_3 | x_1, x_2), \mathcal{Y}_2 \times \mathcal{Y}_3)$

符号 含义
$X_1$ 源发射信号
$X_2$ 中继发射信号
$Y_2$ 中继接收信号
$Y_3$ 目的接收信号

1.2 码的定义

一个 $(2^{nR}, n)$ 码包含：

组件 定义
源编码器 $x_1^n(m): [1:2^{nR}] \to \mathcal{X}_1^n$
中继编码器 $x_{2i}(y_2^{i-1}), i \in [1:n]$——因果地依赖于中继过去的接收
译码器 $\hat{m}(y_3^n)$

⚠️ 中继信道的容量在一般情况下未知。这与 BC 类似——已知紧的上下界仅在若干特殊情形。

2. 割集上界

割集上界（Cutset Upper Bound）是中继信道最基础的外界。

2.1 定理（Cover-El Gamal 1979）

定理: 中继信道的容量满足

2.2 割集解释

割 合作假设 互信息上界 物理含义
割 1 $X_1$ 与 $X_2$ 协作 $R \leq I(X_1, X_2; Y_3)$ 合作 MAC：源+中继 → 目的
割 2 $Y_2$ 与 $Y_3$ 协作 $R \leq I(X_1; Y_2, Y_3 \vert X_2)$ 合作 BC：源 → 中继+目的（已知 $X_2$ 条件下）

容量被两个割中较小的那个限制：$C \leq \min{\text{割}_1, \text{割}_2}$。

2.3 逆定理证明概要

对任意 $(2^{nR}, n)$ 码:

第二个割类似可得。取最小值即完成证明。

割集上界对几乎所有已知容量的中继信道类别都是紧的，但一般在一般情况下不紧（如教材 Example 16.2）。

3. 直接传输下界

当中继信道很弱时，最好的策略是不使用中继——中继仅作为被动旁观者。

3.1 定理（直接传输下界）

中继在通信中”不扮演主动角色”——$X_2$ 固定为某常数（或不含信息）。

3.2 紧条件：反向退化中继信道

定义：若 $X_1 \to (Y_3, X_2) \to Y_2$（在已知 $X_2$ 条件下），即

则割集上界退化为：

与直接传输下界吻合 → 容量已知。

4. 多跳下界

当直接链路极弱时，所有通信都经过中继。

4.1 定理（多跳下界）

4.2 紧条件：级联信道

若 $p(y_2, y_3 | x_1, x_2) = p(y_2 | x_1) p(y_3 | x_2)$（两段独立 DMC 的级联），则多跳下界 = 割集上界：

4.3 可达性——分组 Markov 编码

核心思想：在 $b$ 个传输块中发送 $b-1$ 个消息，利用中继在块 $j$ 中转发前一块的消息。

1
2
消息:  m₁    m₂    m₃   ... m_{b-1}  1
块:    1     2     3    ...   b-1    b
步骤 内容
码本生成 $\forall j \in [1:b]$ ，独立生成 $2^{nR}$ 个
编码（块 $j$） 发送 ；中继发送 （上一块中继译出的消息）
中继译码
块 $j$ 结束		 找唯一 使
目的译码
块 $j+1$ 结束		 找唯一 使

速率条件: 中继译码 $R < I(X_1; Y_2 | X_2)$，目的译码 $R < I(X_2; Y_3)$。取 $\min$ 即得多跳下界。

5. 协作多跳下界

如果源知道中继将要发送什么，源和中继可以相干协作。

5.1 定理（协作多跳下界）

与普通多跳相比：$I(X_2; Y_3)$ 替代了 $I(X_2; Y_3 | X_1)$——因为 $X_1$ 和 $X_2$ 可以联合设计分布（通过 $p(x_1|x_2)$ 建立相关性）。

5.2 可达性（分组 Markov 编码 + 条件码本）

步骤 内容
码本生成 独立生成 $2^{nR}$ 个 ；对 每个 ，条件独立生成 个
编码（块 $j$） 源发送 （利用 作为条件来”对准”中继信号）
中继译码 找唯一 使
目的译码 找唯一 使

“Coherent”的含义: $X_1$ 和 $X_2$ 通过联合分布 $p(x_1, x_2)$ 建立相关性，使得在中继处 $X_1$ 和 $X_2$ 的信号可以”相干叠加”，提升 $Y_3$ 处的接收信噪比（对高斯信道而言）。

6. 译码转发（Decode-Forward）

译码转发（DF）是中继信道最经典的编码策略：中继完全译码源消息，然后在下一块中与源协作重传。

6.1 定理（DF 下界，Cover-El Gamal 1979）

项 物理含义
$I(X_1; Y_2 \vert X_2)$ 中继译码条件——中继能以多快的速率可靠地译出源消息
$I(X_1, X_2; Y_3)$ 目的译码条件——源+中继协作时目的能以多快的速率可靠译码

6.2 紧条件：物理退化中继信道

若 $X_1 \to (Y_2, X_2) \to Y_3$（即 $p(y_2, y_3|x_1, x_2) = p(y_2|x_1, x_2)p(y_3|y_2, x_2)$），DF 下界 = 割集上界：

6.3 可达性——后向译码（Backward Decoding）

DF 的可达性使用后向译码（Willems-van der Meulen 1985, Zeng-Kuhlmann-Buzo 1989）：

步骤 内容
码本/编码/中继译码 同协作多跳（条件码本）
后向译码 ；对于 ，找唯一 使

后向译码的关键: 假设 已正确译出（从后往前推），则在块 的接收 中， 提供了关于 的信息。速率条件：。

6.4 DF 的局限

⚠️ 当中继比目的节点弱时，DF 甚至不如直接传输！

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直接传输: C ≥ max I(X₁;Y₃|X₂=x₂)
DF:       C ≥ min{I(X₁,X₂;Y₃), I(X₁;Y₂|X₂)}

当 I(X₁;Y₂|X₂) < I(X₁;Y₃|X₂=x₂) 时,
DF受限于中继链路 → 直接传输更好

解决方案: 中继不需要译码全部消息，可以只译码一部分（部分译码转发），或者根本不译码（压缩转发）。

7. 部分译码转发（Partial Decode-Forward）

7.1 核心思想

将源消息 $M$ 拆分为两部分：$M = (M’, M’’)$。

  • $M’$: 中继译码并协作转发（使用 DF 策略）
  • $M’’$: 中继不译码，源直接发给目的（使用叠加编码）

7.2 定理（部分 DF 下界，Cover-El Gamal 1979）

码本结构:

速率分量 条件
$R’$（$M’$ 的相干协作部分） $R’ < \min{I(U; Y_2 \vert X_2), I(U, X_2; Y_3)}$
$R’’$（$M’’$ 的叠加编码部分） $R’’ < I(X_1; Y_3 \vert U, X_2)$

7.3 紧条件

部分 DF 对以下两类信道是紧的：

信道 容量公式
半确定中继信道（El Gamal–Aref 1982）
$Y_2 = y_2(X_1, X_2)$		 $C = \max \min{I(X_1,X_2;Y_3), H(Y_2\vert X_2) + I(X_1;Y_3\vert X_2,Y_2)}$
正交发送分量 RC（El Gamal-Zahedi 2005） $C = \max \min{I(X_1’,X_2;Y_3), I(X_1’’;Y_2\vert X_2) + I(X_1’;Y_3\vert X_2)}$

8. 压缩转发（Compress-Forward）

压缩转发（CF）是中继信道的另一种基本策略。与 DF 不同，中继不译码消息——它只是将接收到的 $Y_2$ 压缩/量化后转发给目的。

8.1 核心思想

🔑 CF 与 Wyner-Ziv 的联系: 中继对 $Y_2$ 的压缩是在目的端已知边信息 $Y_3$ 的情况下进行的——这正是 Wyner-Ziv 编码！目的利用 $Y_3$ 作为边信息来”解压缩”中继的量化信号 $\hat{Y}_2$。

8.2 定理（CF 下界，El Gamal-Mohseni-Zahedi 2006）

公式解读:

项 物理含义
$I(X_1; \hat{Y}_2, Y_3 \vert X_2)$ 源到”增强目的”（$Y_3$ + 解压缩的 $\hat{Y}_2$）的速率
$I(Y_2; \hat{Y}_2 \vert X_1, X_2, Y_3)$ 压缩代价——Wyner-Ziv 速率损失（$Y_2$ 到 $\hat{Y}_2$ 的量化所需额外速率）
$I(X_1, X_2; Y_3) - I(Y_2; \hat{Y}_2 \vert \ldots)$ 修正后的和速率

8.3 可达性——Compress-Bin + 分组 Markov 编码

这是本章最复杂的编码方案——组合了分组 Markov 编码、Compress-Bin（Wyner-Ziv）和同时非唯一译码。

码本生成（固定 $p(x_1)p(x_2)p(\hat{y}_2|y_2, x_2)$）:

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对每个块 j ∈ [1:b]:
  - 独立生成 2^{nR} 个 X₁ⁿ(mⱼ)
  - 独立生成 2^{nR₂} 个 X₂ⁿ(l_{j-1})
  - 对每个 l_{j-1}, 条件独立生成 2^{nR̃₂} 个 Ŷ₂ⁿ(kⱼ|l_{j-1})
  - 将 [2^{nR̃₂}] 均分为 2^{nR₂} 个 bin B(lⱼ)

编码:

步骤 操作 速率条件
源 块 $j$ 发送 $X_1^n(m_j)$ —
中继（压缩） 块 $j$ 结束后，找 使
$\tilde{R}_2 > I(Y_2; \hat{Y}_2 \vert X_2)$（Covering Lemma）
中继（转发） 块 $j+1$ 发送 $X_2^n(l_j)$，其中 $l_j$ 是 $k_j$ 的 bin 索引 —

译码（块 $j+1$ 结束后，同时非唯一译码）:

步骤 操作 速率条件
恢复 $l_j$ 找唯一 使 $R_2 < I(X_2; Y_3)$
恢复 $m_j$ 找唯一 使
，		 $R < I(X_1; \hat{Y}_2, Y_3 \vert X_2)$
且
$R_2 + \tilde{R}_2 - R_2 < I(X_1; Y_3 \vert X_2) + I(\hat{Y}_2; X_1, Y_3 \vert X_2)$

通过 Fourier-Motzkin 消元（消去 $R_2, \tilde{R}_2$），即得 CF 下界。

8.4 CF 的优势与代价

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       割集上界
      /        \
译码转发    压缩转发
(中继强时好)  (中继弱时好)
      \        /
       直接传输
策略 适用场景 中继做什么
直接传输 中继极弱 什么也不做
多跳 无直接链路 译码并转发
译码转发 中继比目的强 译码、协作转发
部分译码转发 中继链路不够好 译码部分、协助部分
压缩转发 中继比目的弱 量化观测、转发压缩版本

CF 对具有正交接收分量的 RC 是紧的（NIT §16.7.3），该例同时表明割集上界在一般情况下不紧。

9. 高斯中继信道

9.1 模型

参数 含义
信道增益
各链路的接收 SNR
$Z_2, Z_3 \sim \mathcal{N}(0, 1)$ 独立 AWGN

⚠️ 高斯中继信道的容量对任意正 SNR 均未知。

9.2 容量近似结果

DF 和 CF 下界均在割集上界的 1/2 bit 以内：

下界方案 AWGN 中的可达速率
DF
CF
其中 由 Wyner-Ziv 压缩代价决定

其中 $C(x) = \frac{1}{2}\log(1+x)$，$\bar{\rho} = 1 - \rho$。

部分译码转发 = $\max{\text{DF}, \text{直接传输}}$——部分 DF 不提供超出 DF 和直接传输取 $\max$ 的增益（对 AWGN 而言）。

10. 考试重点速查表

10.1 核心公式

名称 公式
割集上界 $\small{C \leq \max_{p(x_1,x_2)} \min{I(X_1,X_2;Y_3),\; I(X_1;Y_2,Y_3\vert X_2)}}$
直接传输下界 $\small{C \geq \max_{p(x_1,x_2)} I(X_1; Y_3 \vert X_2)}$
多跳下界 $\small{C \geq \max_{p(x_1)p(x_2)} \min{I(X_1;Y_2),\; I(X_2;Y_3\vert X_1)}}$
协作多跳下界 $\small{C \geq \max_{p(x_1,x_2)} \min{I(X_2;Y_3),\; I(X_1;Y_2\vert X_2)}}$
DF 下界 $\small{C \geq \max_{p(x_1,x_2)} \min{I(X_1,X_2;Y_3),\; I(X_1;Y_2\vert X_2)}}$
部分 DF 下界 $\small{C \geq \max_{p(u,x_1,x_2)} \min{I(X_1,X_2;Y_3),\; I(U;Y_2\vert X_2)+I(X_1;Y_3\vert X_2,U)}}$
CF 下界 $\small{C \geq \max_{p(x_1)p(x_2)p(\hat{y}_2\vert y_2,x_2)} \min{I(X_1,X_2;Y_3)-I(Y_2;\hat{Y}_2\vert X_1,X_2,Y_3),\; I(X_1;\hat{Y}_2,Y_3\vert X_2)}}$

10.2 编码策略对比

策略 中继作用 编码技术 紧条件
直接传输 无 点对点编码 反向退化 RC
多跳 译码+转发 分组 Markov 级联信道
协作多跳 译码+相干协作 条件码本 + 分组 Markov —
译码转发（DF） 完全译码+协作 条件码本 + 后向译码 物理退化 RC
部分 DF 译码部分+叠加编码 叠加编码 + 条件码本 半确定 RC / 正交发送 RC
压缩转发（CF） 量化+Wyner-Ziv Compress-Bin + 分组 Markov 正交接收 RC

10.3 策略选择指南

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中继比目的强？
  ├── 是 → 用译码转发（DF）或部分 DF
  │       └── 中继能完全译码 → DF
  │       └── 中继只能译码部分 → 部分 DF
  └── 否 → 用压缩转发（CF）
            └── 前提：中继-目的链路尚可（能传压缩的 Ŷ₂）
            └── 否则 → 极弱时用直接传输

10.4 关键概念

概念 一句话解释
割集上界 将网络”割”为两部分，假设两侧可无代价协作
分组 Markov 编码 将 $b-1$ 个消息分布在 $b$ 个块中，利用中继的因果性
条件码本 依赖于中继已知的消息，实现相干协作
后向译码 从最后一块向前译码，利用 $m_{j+1}$ 的信息来帮助译 $m_j$
Compress-Bin 中继做 Wyner-Ziv 压缩：Covering 找 $\hat{Y}_2$ + Binning 传 bin 索引
Covering Lemma CF 中继端：$\tilde{R}_2 > I(Y_2; \hat{Y}_2\vert X_2)$ 保证码本中能找到匹配的量化
Packing Lemma CF 目的端：防止 bin 中出现多个混淆的 $\hat{Y}_2$

复习建议:

  1. 割集上界（§2）是理解中继信道的基础——必须掌握两个割的物理含义（合作 MAC vs 合作 BC）和逆定理证明的基本框架。
  2. 译码转发（§6）是本章核心——重点理解 DF 公式 $C \geq \min{I(X_1,X_2;Y_3), I(X_1;Y_2|X_2)}$ 的来源（中继译码条件 + 目的译码条件），以及后向译码与前向译码的区别。
  3. 压缩转发（§8）是最复杂的方案——理解其与 Wyner-Ziv 编码的联系（目的端 $Y_3$ 作为边信息），以及 CF 公式中两个 min 项的含义。
  4. 分组 Markov 编码贯穿全章——掌握 $b$ 块发送 $b-1$ 消息的帧结构、条件码本的生成方法，以及中继的因果编码约束。
  5. 各种策略的适用条件对比很重要——中继强用 DF，中继弱用 CF，极弱不用中继。